Mathilde Vernet
Jeudi 22 Octobre 2020 à 11h en salle 25-26/105, Jussieu
Les problèmes de graphes ont été largement étudiés dans le cas des graphes statiques. Cependant, ces graphes ne permettent pas de prendre en compte la dimension temporelle, qui est souvent une donnée importante pour les situations à modéliser. Les graphes dynamiques viennent combler ces lacunes en permettant de modéliser des évolutions dans le temps. On peut alors s’interroger sur ces mêmes problèmes de graphes dans un contexte dynamique. Cela passe d’abord par la définition du modèle de graphes dynamiques le plus approprié et la modélisation précise du problème sur ces graphes. Lorsque le problème ne peut pas être résolu efficacement en appliquant directement des méthodes connues sur les graphes statiques, il faut alors concevoir un algorithme de résolution spécifique aux graphes dynamiques et l’analyser théoriquement et expérimentalement. En suivant cette démarche, l’objectif de cette thèse est de s’interroger sur l’extension aux graphes dynamiques des problèmes bien connus sur les graphes statiques. Ce travail s’intéresse à plusieurs problèmes de graphes en contexte dynamique en se focalisant sur les aspects algorithmiques et en s’abstrayant des domaines d’applications. Nous nous intéressons d’abord aux problèmes de flot dans les graphes dynamiques et proposons en particulier pour le problème du flot de cout minimum un algorithme polynomial permettant de résoudre le problème de façon optimale pour un modèle de graphe dynamique spécifique. Des problèmes liés à la connexité des graphes dynamiques sont aussi étudiés. Les composantes connexes persistantes, extension des composantes connexes aux graphes dynamiques, traduisent la connexité d’un ensemble de nœuds pendant un certain nombre de pas de temps consécutifs. De façon analogue à la notion de maximalité des composantes connexes dans un graphe statique, une notion de dominance entre composantes connexes persistantes est définie. Un algorithme polynomial permettant d’identifier toutes les composantes connexes persistantes non dominées est proposé. Plusieurs extensions à la définition de composantes connexes persistantes sont étudiées. Nous proposons enfin des extensions possibles du problème de Steiner aux graphes dynamiques. Nous nous concentrons sur un cas particulier et montrons la NP-complétude de ce problème.